Repaso para examen completivo

Angulos determinado por Rectas Paralelas cortadas po una Secante

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:

Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:

El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.

 Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

15.55   Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
7. ¿Es el ángulo 6  correspondiente al ángulo 3?
8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

Respuestas:

1. Adyacentes y suplementarios.
2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno.
3. Sí, juntos valen 180º.
4. Sí, por ser opuestos por el vértice.
5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ángulo interior y el otro un ángulo exterior.
6. Se encuentren en el mismo lado de la secante, los dos son ángulos interiores.
7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son interiores.
8. Sí por estar opuestos por el vértice.
9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.
10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí.

Examen 1

Complemento y suplemento de ángulos

Complemento y Suplemento de un Ángulo - Ejercicios Resueltos

Complemento de un ángulo:

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º.
Si α=70°, para obtener el ángulo complementario de α o el complemento de α, se restará α de 90°:
 => β = 90°- α =90°– 70º = 20º
El ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

Suplemento de un ángulo:

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180°.
Para obtener el ángulo suplementario de α o el suplemento de α, el ángulo  de un determinado ángulo α debe estar comprendido entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:
β = 180° – α
El ángulo β (beta) es el suplementario de α (alfa).

Ejercicios Resueltos:
Ejercicio 01
Indique el triple de la mitad del complemento de 40°.

                                  

Ejercicio 02
¿En cuánto excede el doble del complemento de 63° al triple del complemento de 84°?

  

Ejercicio 03
Calcular el complemento del suplemento de 120° y luego adiciónele el suplemento del complemento de 60°.
 

                              

           

Ejercicio 04
Hallar un ángulo que verifique que el complemento de la mitad del suplemento del doble del complemento de dicho ángulo es 55°.

Ejercicio 05

Indicar el menor de dos ángulos  si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9° 


                                



Ejercicio 06
Dos ángulos adyacentes suplementarios  están en la relación de 3 a 5. Calcular la medida del ángulo menor.

Repaso Olimpiadas de Matematica para todos los niveles

Revisa los siguientes enlaces, los cuales contienen ejercicios y examenes resultos.


Ejercicios Resueltos 1


Ejercicios Resueltos 2


Ejercicios Resueltos 3


Ejercicios Resueltos 4


Ejercicios Resueltos 5


Ejercicios Resueltos 6


Ejercicios Resueltos 7

Operaciones en el sistema sexagesimal

SUMA DE ÁNGULOS

• Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

• Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

• Se hace lo mismo para los minutos.

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El video os muestra de manera visual cómo sumar ángulos tanto de forma gráfica y numérica, prestad atención, os ayudará a comprenderlo tal y como lo hemos visto antes en clase.

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RESTA DE ÁNGULOS

Para restar ángulos en forma numérica, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, en ese caso habrá que tomar 60 del nivel superior.

Veamos un ejemplo:

1) Se colocan las medidas de los ángulos una debajo de otra, de modo que coincidan en cada columna las unidades del mismo orden
2) Se restan los segundos
3) Como a 13′ no se pueden restar 47′, se convierte un grado en minutos (38° = 37° 60′;  13′ + 60′ = 73′)
4) Se restan los minutos (73′ – 47′ = 26′)
5) Se restan los grados (37° – 25° = 12°).El video os sirve de  herramienta para recordar cómo se hace la resta de ángulos de manera gráfica y numérica.

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EJERCICIOS RESUELTOS

Operaciones con Segmentos de Recta - Ejercicios Resueltos - Geometría

Concepto de Segmentos, Rayos y Líneas. 

Recta: es una sucesión infinita de puntos. No tiene comienzo ni fin.

Segmento: es una porción de línea definida por sus puntos extremos. Tiene una longitud determinada.

Ejercicios Resueltos de Operaciones con Segmentos

Ejercicio 1

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC es 2 veces AB, CD  es dos veces DE y AE es 12. Calcular BD.

Ejercicio 2

Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D y E. Se sabe que: (AB)/20 = (BC)/4 = (CD)/5;  (CD) = (DE); (BD) = 27cm. Hallar (BE).

Ejercicio 3

Si en la siguiente figura LM = 160 cm, LK = 100 cm, y QM = 100 cm, ¿cuál es la longitud de QK?

 

Ejercicio 4

A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales; M y N son los puntos medios de los segmentos  AB y  CD respectivamente. Calcúlese la longitud del segmento  MN si:

AC = 15 cm y BD = 25 cm.

Ejercicio 5

El segmento BC=20cm, los puntos B y C dividen al segmento AD en tres partes iguales, ¿Cuánto mide el segmento BD?

 

Ejercicio 6

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C tal que AB = a, BC = 3a, y AC = 24. Encontrar BC.

Ejercicio 7

Los puntos A,B,C,D se encuentran sobre una línea recta de modo que AC+BD+AD=54 y BC=8. Encontrar AD.

Ejercicio 8

En los puntos consecutivos A,B,C,D que se encuentran sobre una línea recta se cumple que AC=13, BD=17, además se toman P punto medio de AB y Q punto medio de CD. Hallar PQ.

 

Ejercicio 9

En los puntos colineales A,B,C,D se cumple que AB=4, AD=12, AB∙CD=AD∙BC  Calcular AC

Orden de las Operaciones

Al realizar cálculos matemáticos, a veces tenemos  que llevar a cabo varias operaciones matemáticas diferentes. Hay que tener cuidado al efectuar las operaciones, ya que hay que seguir un orden en particular para que le dé a todos el mismo resultado.

Por ejemplo: si queremos calcular el resultado de -2 + 6 x 3 - 2 , si no contamos con algunas reglas los resultados pudieran ser variados como por ejemplo: 10,  14,  4 . Para que esto no suceda entonces necesitamos aprender las Reglas para Orden de Operaciones.

El orden de operaciones consiste en las reglas que te dicen que es lo que vas a hacer primer al realizar el cálculo.

Reglas para Orden de Operaciones
1. Resolver paréntesis, u otros símbolos. ( )  [ ]  { }
2. Resolver exponentes o raíces.
3. Multiplicación y división de izquierda a derecha.
4. Suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo:
 2 + 7 · 8 / 2
 2 + 56 / 2          [Se multiplicó 7 · 8]
 2 + 28               [Se dividió  56 / 2]
    30                  [ Se sumó 28 + 2]

Cuando hay un paréntesis ( ) , llave { }  y corchete [ ], hay que resolver lo que está dentro de estos símbolos, antes de efectuar alguna otra operación.

Ejemplo:
 5 · (9 – 6) + 8         <Se resuelve el paréntesis>
 5 · 3 + 8                 < Se restó 9 – 6 = 3>
 15 + 8                    < Se multiplicó 5 · 3>
  23                           < Se sumó 15 + 8>


Otro ejemplo:
 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2       <Primero, se resuelve el [ ] >
 2 [ -6] + 8 / 2              < Se multiplicó 6 · -1>
 -12 + 8 / 2                  < Se multiplicó 2 · -6>
 -12 + 4                       < Se dividió 8 / 2>
   -8                             < Se sumó –12 + 4>

Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro hacia fuera.

Ejemplo 1:
2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ]

Como el paréntesis está adentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete.

2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ]
2 [ 6 – 3 + 8 ]
2 [ 3 + 8 ]
2 [ 11] = 22

Ejemplo 2
3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] }
3 { 4 – [ 6 · 2 (4)  + 1 ] }
3 { 4 – [ 12 (4) + 1 ] }
3 { 4 – [ 48 + 1 ] }
3 { 4 – [ 49 ] }
3 { -45}
 -135


Ejemplo con exponente:
1.          9 { 2 – [ 6 + (4)² + 8 ] }
             9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] }
             9 { 2 – [ 22 + 8 ] }
             9 { 2 – 30 }
             9 {-28}
              -252

2.          3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )² – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )² – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] }
             3 { 6 – [ 41– 20 ] }
             3 { 6 – 21}
                3 {-15}
                    -45



Ejercicios:
Resuelve según el orden de operaciones:

1)     4 · 2(3 + 6) / 3                                    2)    3 + (2 + 3)² – 6 / 2




3)    4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3]                            4)    2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1}





5)     3 { 4² – ( -3 + 1) / 2}                      6)    4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)² / 2 + 8] }






Solución:
1.
                4 · 2 ( 3 + 6 ) / 3
                4 · 2 ( 9 ) / 3
                8 (9 ) / 3
                72 / 3 = 24


2.
                3 + (2 + 3)² – 6 / 2
                3 + (5)² – 6 / 2
                3 + 25 – 6 / 2
                3 + 25 – 3
                    28 – 3
                        25

3.
                4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3]
                4 [ 1 – ( -6)  / 3 ]
                4 [ 1 - -2 ]
                4 [ 3]  = 12


4.
                2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1}
                2 { 6 – 2 ( 5)  / 5 + 1}
                2 { 6 – 10 / 5 + 1}
                2 { 6 – 2 + 1}
                2 { 4 + 1}
                2 { 5 } = 10

5.
                3 { 42 – ( -3 + 1) / 2}
                3 { 42 – ( -2) / 2}
                3 { 16 – (-2) / 2}
                3 { 16 –  -1}
                3 {17} = 51
6.
            4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)² / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 + ( -2)² / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 + 4 / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 +  2 + 8] }
            4 { 5 – [ 8 + 8]}
            4 { 5 – 16}
            4 { -11} =  -44