Complemento y suplemento de ángulos

Complemento y Suplemento de un Ángulo - Ejercicios Resueltos

Complemento de un ángulo:

Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90º.
Si α=70°, para obtener el ángulo complementario de α o el complemento de α, se restará α de 90°:
 => β = 90°- α =90°– 70º = 20º
El ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa).

Suplemento de un ángulo:

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180°.
Para obtener el ángulo suplementario de α o el suplemento de α, el ángulo  de un determinado ángulo α debe estar comprendido entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:
β = 180° – α
El ángulo β (beta) es el suplementario de α (alfa).

Ejercicios Resueltos:
Ejercicio 01
Indique el triple de la mitad del complemento de 40°.

                                  

Ejercicio 02
¿En cuánto excede el doble del complemento de 63° al triple del complemento de 84°?

  

Ejercicio 03
Calcular el complemento del suplemento de 120° y luego adiciónele el suplemento del complemento de 60°.
 

                              

           

Ejercicio 04
Hallar un ángulo que verifique que el complemento de la mitad del suplemento del doble del complemento de dicho ángulo es 55°.

Ejercicio 05

Indicar el menor de dos ángulos  si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9° 


                                



Ejercicio 06
Dos ángulos adyacentes suplementarios  están en la relación de 3 a 5. Calcular la medida del ángulo menor.

Repaso Olimpiadas de Matematica para todos los niveles

Revisa los siguientes enlaces, los cuales contienen ejercicios y examenes resultos.


Ejercicios Resueltos 1


Ejercicios Resueltos 2


Ejercicios Resueltos 3


Ejercicios Resueltos 4


Ejercicios Resueltos 5


Ejercicios Resueltos 6


Ejercicios Resueltos 7

Operaciones en el sistema sexagesimal

SUMA DE ÁNGULOS

• Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

• Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

• Se hace lo mismo para los minutos.

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El video os muestra de manera visual cómo sumar ángulos tanto de forma gráfica y numérica, prestad atención, os ayudará a comprenderlo tal y como lo hemos visto antes en clase.

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RESTA DE ÁNGULOS

Para restar ángulos en forma numérica, debe procederse en forma similar a la suma, restando por separado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego reducir el resultado como se hiciera en la suma.Pero como puede ocurrir que los minutos o segundos del sustraendo sean más que los del minuendo, en ese caso habrá que tomar 60 del nivel superior.

Veamos un ejemplo:

1) Se colocan las medidas de los ángulos una debajo de otra, de modo que coincidan en cada columna las unidades del mismo orden
2) Se restan los segundos
3) Como a 13′ no se pueden restar 47′, se convierte un grado en minutos (38° = 37° 60′;  13′ + 60′ = 73′)
4) Se restan los minutos (73′ – 47′ = 26′)
5) Se restan los grados (37° – 25° = 12°).El video os sirve de  herramienta para recordar cómo se hace la resta de ángulos de manera gráfica y numérica.

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EJERCICIOS RESUELTOS

Operaciones con Segmentos de Recta - Ejercicios Resueltos - Geometría

Concepto de Segmentos, Rayos y Líneas. 

Recta: es una sucesión infinita de puntos. No tiene comienzo ni fin.

Segmento: es una porción de línea definida por sus puntos extremos. Tiene una longitud determinada.

Ejercicios Resueltos de Operaciones con Segmentos

Ejercicio 1

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC es 2 veces AB, CD  es dos veces DE y AE es 12. Calcular BD.

Ejercicio 2

Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D y E. Se sabe que: (AB)/20 = (BC)/4 = (CD)/5;  (CD) = (DE); (BD) = 27cm. Hallar (BE).

Ejercicio 3

Si en la siguiente figura LM = 160 cm, LK = 100 cm, y QM = 100 cm, ¿cuál es la longitud de QK?

 

Ejercicio 4

A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales; M y N son los puntos medios de los segmentos  AB y  CD respectivamente. Calcúlese la longitud del segmento  MN si:

AC = 15 cm y BD = 25 cm.

Ejercicio 5

El segmento BC=20cm, los puntos B y C dividen al segmento AD en tres partes iguales, ¿Cuánto mide el segmento BD?

 

Ejercicio 6

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C tal que AB = a, BC = 3a, y AC = 24. Encontrar BC.

Ejercicio 7

Los puntos A,B,C,D se encuentran sobre una línea recta de modo que AC+BD+AD=54 y BC=8. Encontrar AD.

Ejercicio 8

En los puntos consecutivos A,B,C,D que se encuentran sobre una línea recta se cumple que AC=13, BD=17, además se toman P punto medio de AB y Q punto medio de CD. Hallar PQ.

 

Ejercicio 9

En los puntos colineales A,B,C,D se cumple que AB=4, AD=12, AB∙CD=AD∙BC  Calcular AC

Orden de las Operaciones

Al realizar cálculos matemáticos, a veces tenemos  que llevar a cabo varias operaciones matemáticas diferentes. Hay que tener cuidado al efectuar las operaciones, ya que hay que seguir un orden en particular para que le dé a todos el mismo resultado.

Por ejemplo: si queremos calcular el resultado de -2 + 6 x 3 - 2 , si no contamos con algunas reglas los resultados pudieran ser variados como por ejemplo: 10,  14,  4 . Para que esto no suceda entonces necesitamos aprender las Reglas para Orden de Operaciones.

El orden de operaciones consiste en las reglas que te dicen que es lo que vas a hacer primer al realizar el cálculo.

Reglas para Orden de Operaciones
1. Resolver paréntesis, u otros símbolos. ( )  [ ]  { }
2. Resolver exponentes o raíces.
3. Multiplicación y división de izquierda a derecha.
4. Suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo:
 2 + 7 · 8 / 2
 2 + 56 / 2          [Se multiplicó 7 · 8]
 2 + 28               [Se dividió  56 / 2]
    30                  [ Se sumó 28 + 2]

Cuando hay un paréntesis ( ) , llave { }  y corchete [ ], hay que resolver lo que está dentro de estos símbolos, antes de efectuar alguna otra operación.

Ejemplo:
 5 · (9 – 6) + 8         <Se resuelve el paréntesis>
 5 · 3 + 8                 < Se restó 9 – 6 = 3>
 15 + 8                    < Se multiplicó 5 · 3>
  23                           < Se sumó 15 + 8>


Otro ejemplo:
 2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2       <Primero, se resuelve el [ ] >
 2 [ -6] + 8 / 2              < Se multiplicó 6 · -1>
 -12 + 8 / 2                  < Se multiplicó 2 · -6>
 -12 + 4                       < Se dividió 8 / 2>
   -8                             < Se sumó –12 + 4>

Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro hacia fuera.

Ejemplo 1:
2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ]

Como el paréntesis está adentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete.

2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ]
2 [ 6 – 3 + 8 ]
2 [ 3 + 8 ]
2 [ 11] = 22

Ejemplo 2
3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] }
3 { 4 – [ 6 · 2 (4)  + 1 ] }
3 { 4 – [ 12 (4) + 1 ] }
3 { 4 – [ 48 + 1 ] }
3 { 4 – [ 49 ] }
3 { -45}
 -135


Ejemplo con exponente:
1.          9 { 2 – [ 6 + (4)² + 8 ] }
             9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] }
             9 { 2 – [ 22 + 8 ] }
             9 { 2 – 30 }
             9 {-28}
              -252

2.          3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )² – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )² – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] }
             3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] }
             3 { 6 – [ 41– 20 ] }
             3 { 6 – 21}
                3 {-15}
                    -45



Ejercicios:
Resuelve según el orden de operaciones:

1)     4 · 2(3 + 6) / 3                                    2)    3 + (2 + 3)² – 6 / 2




3)    4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3]                            4)    2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1}





5)     3 { 4² – ( -3 + 1) / 2}                      6)    4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)² / 2 + 8] }






Solución:
1.
                4 · 2 ( 3 + 6 ) / 3
                4 · 2 ( 9 ) / 3
                8 (9 ) / 3
                72 / 3 = 24


2.
                3 + (2 + 3)² – 6 / 2
                3 + (5)² – 6 / 2
                3 + 25 – 6 / 2
                3 + 25 – 3
                    28 – 3
                        25

3.
                4 [ 1 – ( 5 – 11)  / 3]
                4 [ 1 – ( -6)  / 3 ]
                4 [ 1 - -2 ]
                4 [ 3]  = 12


4.
                2 { 6 – 2 ( 9 – 4)  / 5 + 1}
                2 { 6 – 2 ( 5)  / 5 + 1}
                2 { 6 – 10 / 5 + 1}
                2 { 6 – 2 + 1}
                2 { 4 + 1}
                2 { 5 } = 10

5.
                3 { 42 – ( -3 + 1) / 2}
                3 { 42 – ( -2) / 2}
                3 { 16 – (-2) / 2}
                3 { 16 –  -1}
                3 {17} = 51
6.
            4 { 5 – [ 6 + ( 2 + -4)² / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 + ( -2)² / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 + 4 / 2 + 8] }
            4 { 5 – [ 6 +  2 + 8] }
            4 { 5 – [ 8 + 8]}
            4 { 5 – 16}
            4 { -11} =  -44